Κοινότητα Αναγνωστών Βιβλίων - readers.gr

Ο Wittgenstein είχε γράψει 1000 σελίδες περίπου, αφιερωμένες στη λογική και τα μαθηματικά, οι περισσότερες από τις οποίες περιλαμβάνονται στις "Φιλοσοφικές παρατηρήσεις" και τη "Φιλοσοφική γραμματική" (τα λεγόμενα "μεταβατικά κείμενα"). Μολονότι τα δύο αυτά κείμενα περιέχουν εκτενείς αναφορές σε θέματα ανωτέρων μαθηματικών, οι ωριμότερες απόψεις, που περιέχονται στο ανά χείρας βιβλίο, κινούνται κυρίως στο στοιχειώδες επίπεδο. Ο λόγος είναι ότι, στο βιβλίο αυτό, ο Wittgenstein εκθέτει, τρόπον τινά, τα πορίσματα των ερευνών που διεξήγαγε στα μεταβατικά κείμενα, και, έχοντας π...

Since remote antiquity the marvel of the applicability of mathematics has beset humans, who have since tried to rationalize it in various ways. The Pythagoreans took number to be the essence of the universe, Plato achieved rationalization by activating his Ideas mathematically, and Cusa, in the New Era, considered the Monad, the principle of numbers, to be the principle of life and of cosmic order and as the means of 'mental measurement', the comparison of the human intellect with its knowable object, similar to Aristotelian assimilation; all of them, and also many other p...

Εάν θέλαμε να χαρακτηρίσουμε μονολεκτικά αυτό το βιβλίο θα αρκούσε η λέξη "πάθος". Η ιστορία των μεταμαθηματικών μοιάζει με ένα "ανθρώπινο δράμα": ιδιοφυείς μαθηματικοί εφαρμόζουν -ανά εποχές- τις μεθόδους τους προκειμένου να "σκάψουν" βαθιά στις ρίζες των μαθηματικών και να αμφισβητήσουν τους περιορισμούς της ίδιας της επιστήμης τους. Τα μαθηματικά ταυτίζονται με τον φορμαλισμό, την τελειότητα, τον απόλυτο υπολογισμό, την πλήρη τυπικότητα, την πληρότητα, την αδιαμφισβήτητη βεβαιότητα. Ή μήπως όχι; Μήπως ταυτίζονται με την τυχαιότητα, το αίνιγμα και το παράδοξο; Ο "βα...

Τι θα σήμαινε για εμάς -κοινωνικά, πνευματικά, νομικά, υλικά και ψυχολογικά- το να ζούμε για πάντα; Ποια είναι η φύση ενός άπειρου συνόλου; Μπορούμε να κάνουμε λόγο για μικρά και για μεγάλα άπειρα; Άραγε, το Σύμπαν θα υπάρχει αιωνίως; Σε ένα άπειρο Σύμπαν μπορεί να συμβεί οτιδήποτε; Άραγε, ο Θεός είναι άπειρος; Και αν ναι, δεν πρέπει να είναι "πιο μεγάλος" από τα εγκόσμια άπειρα, όπως είναι ο ανεξάντλητος κατάλογος των θετικών αριθμών; Πόσα άτομα φιλοξενούνται στο ξενοδοχείο "Το άπειρο", του γερμανού μαθηματικού Νταβίντ Χίλμπερτ; Οι αρχαίοι φιλόσοφοι με πρώτο τον Ζήνωνα αν...

Δοκιμάστε να βρείτε στη φύση έναν πραγματικό κύκλο. Είναι αδύνατο, ακόμα και αν σκεφτεί κανείς την πανσέληνο. Το ίδιο ισχύει και για τα τεχνουργήματα του ανθρώπινου πολιτισμού, ένα λάστιχο αυτοκινήτου για παράδειγμα. Ο πραγματικός κύκλος είναι αποκύημα της ανθρώπινης φαντασίας. Αν το σχήμα ενός φυσικού κύκλου μπορεί να προσεγγίσει τόσο το αντίστοιχο ενός πραγματικού ώστε για πρακτικούς σκοπούς να θεωρήσουμε το φυσικό κύκλο σαν πραγματικό, τι νόημα έχει να ασχολούμαστε με την ανυπαρξία αληθινών κύκλων; Η απάντηση σ' αυτό το ερώτημα δεν είναι απλή. Αντιθέτως, δίνει την αφο...

Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία δεν είναι από τα δημοφιλέστερα γνωστικά πεδία, παρά την καθολική τους αναγνώριση και την τεράστια συμβολή τους στην πρόοδο της ανθρωπότητας. Για τους περισσότερους μάλιστα αποτελούν ασύμβατες επιστημονικές περιοχές που διαχωρίζονται με απροσπέλαστα τείχη (η γνωστή διάκριση θετικών και θεωρητικών σπουδών). Αυτούς τους μύθους επιχειρεί να ανατρέψει το παρόν ευσύνοπτο βιβλίο, που αναλύει τις φιλοσοφικές καταβολές-υποδομές της μαθηματικής δραστηριότητας (όπως διατυπώθηκαν στον 20ό αιώνα από διάσημους στοχαστές-ερευνητές) και κλείνει με γενικό...

Η ιστορία του Πολ Έρντος και της αναζήτησης για τη μαθηματική αλήθεια. Για να ανακαλύψει κανείς στον αιώνα μας κάποιον άλλο άνθρωπο που να έχει αφιερώσει τόσο απόλυτα τη ζωή του στην αφηρημένη σκέψη θα έπρεπε να ανατρέξει στο Λούντβιχ Βίτγκενσταϊν (1889-1951) που απογύμνωσε τη ζωή του για χάρη της φιλοσοφίας. Ενώ όμως ο Βίτγκενσταϊν σκόρπισε την οικογενειακή του περιουσία ως ένα είδος αυτοτιμωρίας, ο Έρντος σκόρπιζε τα περισσότερα από τα χρήματα που κέρδιζε απλώς επειδή δεν τα χρειαζόταν... Και ενώ ο Βίτγκενσταϊν πορευόταν με σχεδόν αυτοκτονικές παρορμήσεις, ο Έρντος οικοδ...

Για τους περισσότερους ανθρώπους τα μαθηματικά είναι γοητευτικά μεν αλλά... δυσνόητα.. Στο βιβλίο αυτό o καθηγητής Στάιν καταφέρνει να τα εξηγήσει με τρόπο διαυγή, φιλικό και διασκεδαστικό. Ξεκινά με τις συναρπαστικές ιστορίες των ανθρώπων που συνέλαβαν τις σημαντικότερες μαθηματικές ιδέες από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Μέσα από τις επιτυχίες και τις αποτυχίες τους, τις αυταπάτες και τις συχνές διαμάχες τους, εξυφαίνεται η ιστορία των μαθηματικών και ο αντίκτυπός τους στην κοινωνία. Η κβαντική μηχανική, ο χωρόχρονος, η θεωρία του χάους και η λειτουργία των πολύπλοκ...

Στα "Θεμέλια της Αριθμητικής" (1884), ο Φρέγκε διατυπώνει και υποστηρίζει την κεντρική θέση του ότι η αριθμητική αποτελεί μέρος της λογικής (Λογικισμός). Ασκώντας, πρώτα, έντονη κριτική σε διάφορες παλιές ή τρέχουσες αλλά κυρίαρχες αντιλήψεις σχετικά με τη φύση της αριθμητικής και τη φύση των φυσικών αριθμών, όπως αυτές του Καντ (οι προτάσεις των μαθηματικών είναι a priori συνθετικές), του Μιλ (οι προτάσεις της αριθμητικής είναι εμπειρικές) κ.ά., αναπτύσσει τις θέσεις του σχετικά με τη φύση των αριθμών, της αριθμητικής και της αριθμητικής γνώσης: (α) τα αντικείμενα της αριθ...

Το βιβλίο αυτό, παρ’ όλα τα χρόνια που πέρασαν από την εποχή της συγγραφής του και τη μάλλον ψυχρή υποδοχή του από την κοινότητα των φιλοσόφων/μαθηματικών και, επιπλέον, παρά τις επιθέσεις που εν τω μεταξύ υπέστη η λεγόμενη "ορθόδοξη" ερμηνεία τού ίδιου του Wittgenstein -στον καμβά της οποίας ο Shanker εξυφαίνει την επιχειρηματολογία του- διατηρεί αμείωτη την αξία του. Κυρίως επειδή είναι ένα τολμηρό σύγγραμμα: αφ’ ενός, δεν διστάζει να καταπιαστεί με ένα τεράστιο πλέγμα προβλημάτων της φιλοσοφίας των μαθηματικών τα οποία άπτονται μεν των βιτγκενσταϊνικών απόψεων για τη θεμ...

Η φράση όπερ έδει δείξαι, ή η αντίστοιχη λατινική quod erat demonstrandum (συντομογραφία: Q.E.D.), συναντάται στο τέλος ορισμένων απλών, εντυπωσιακών και συνάμα οπτικά ελκυστικών αποδείξεων. Από μια άποψη, είναι συνώνυμη της αλήθειας και της ομορφιάς στα μαθηματικά. Από μια άλλη, αντιπροσωπεύει τη φαινομενικά απρόσιτη πλευρά αυτής της αρχαίας επιστήμης. Παρουσιάζοντας ορισμένες από τις πιο διάσημες αποδείξεις, ο μαθηματικός Μπέρκαρντ Πόλστερ μας δίνει να καταλάβουμε με τον πιο άμεσο τρόπο γιατί ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα, με ποια μέθοδο έβρισκε ο Αρχιμήδης το εμβαδό ενός...

Κατά τον ίδιο τρόπο που ο Ευκλείδης μεταμόρφωσε τη γεωμετρία, αρθρώνοντάς τη σε αξιωματική βάση, έτσι και ο Γκόττλομπ Φρέγκε (1848-1925) θέλησε να μεταμορφώσει την αριθμητική, στηρίζοντάς την στον στέρεο βράχο της λογικής αλήθειας. Το σύστημα του Φρέγκε κατέρρευσε. Η προσπάθειά του, όμως, δεν ήταν μάταιη. Στο πλαίσιο του επιβλητικού μαθηματικού του προγράμματος, ο Φρέγκε ανακάλυψε μιαν εντελώς νέα μορφή λογικής -τη σύγχρονη τυπική λογική- βάζοντας τέλος στην υπερδισχιλιετή κυριαρχία της αριστοτελικής θεωρίας του συλλογισμού. Επιπλέον, δίχως ο ίδιος να το συνειδητοποιεί, ο Φ...

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα μέχρι τον Νεύτωνα και τον Αϊνστάιν, ο καθηγητής Robert Crease διηγείται τη συναρπαστική ιστορία των δέκα σπουδαιότερων εξισώσεων που διαμόρφωσαν τον κόσμο μας όπως τον ξέρουμε σήμερα. Μέσα στις σελίδες του βιβλίου του ο αναγνώστης ταξιδεύει στο μυθιστορηματικό παρασκήνιο των μαθηματικών νόμων, στην προσωπική ζωή των ιδιοφυών επιστημόνων που τις επινόησαν, στην εξέλιξη της ανθρώπινης σκέψης και τελικά στην ίδια την καρδιά του σύμπαντος.

Η παρούσα συλλογή περιλαμβάνει δεκατρία κείμενα φιλοσοφίας και ιστορίας των μαθηματικών και της λογικής, που καλύπτουν μια ευρύτατη περιοχή, τόσο θεματικά όσο και χρονικά. Τα κείμενα φιλοσοφίας αφορούν στη φύση των μαθηματικών αντικειμένων και στο πληροφορικό περιεχόμενο των μαθηματικών αληθειών (Δ. Αναπολιτάνος), στα ενορατικά μαθηματικά του L.E.J. Brouwer και στη λογική τους (Γ. Βαφειάδου και J. Rand Moschovakis), στη χρήση της θεωρίας αναδρομικών συναρτήσεων στη θεωρία προσδιορισμού αναφοράς (Ε. Καλυβιανάκη και Γ.Ν. Μοσχοβάκης), στην ανθυφαιρετική φύση της γεωμετρίας και...

Εις το παρόν βιβλίον αποκαλύπτεται η νοημοσύνη της Ελληνικής γλώσσης. Μέσα απο πληθώρα λεξαριθμικών ισοψηφιών, αποδεικνύεται, ότι οι λεξάριθμοι έχουν γνώσιν επί παντός επιστητού. Παρουσιάζονται αποδείξεις σχετικώς με την γνώσιν των λεξαρίθμων διά τις πυρηνικές βάσεις του DNA, αναλύονται τα ονόματα των μουσικών φθόγγων ...των πυθαγορείων και αποκωδικοποιείται η μουσική αρμονία των ουρανίων σφαιρών.

Στην παρούσα μελέτη εξετάζονται πτυχές της σχέσης Θεωρητικής Φυσικής και των Μαθηματικών, όπως διαμορφώθηκε από τη δεκαετία του 1980 και μετά. Αφορμή αποτέλεσαν κάποιες σκέψεις του Κορνήλιου Καστοριάδη, τις οποίες ο Γιώργος Λ. Ευαγγελόπουλος αντιπαραθέτει και μελετά συγκριτικά με ανάλογες παρατηρήσεις του διαπρεπούς μαθηματικού Δημήτρη Χριστοδούλου, αλλά και του φυσικού και φιλοσόφου της επιστήμης Βασίλη Γ. Σακελλαρίου. Θίγονται μια σειρά σειρά από ζητήματα, όπως το κατά πόσο είναι «αναγκαία» η αυστηρή μαθηματική θεμελίωση μιας θεωρίες της Φυσικής. Ένα από τα συμπεράσματα ε...

Εταιρείες-γίγαντες του Διαδικτύου, όπως η Yahoo και η Google, συγκεντρώνουν κατά μέσο όρο 2.500 πληροφορίες για καθέναν από μας κάθε μήνα. Καθημερινά, απλά και μόνο ζώντας μέσα στο σύγχρονο κόσμο, αφήνουμε πίσω μας αμέτρητα ψήγματα προσωπικών πληροφοριών. Κάνουμε κλικ σε ιστοσελίδες, αλλάζουμε κανάλια στην τηλεόραση, περνάμε με το αυτοκίνητό μας από τα αυτόματα μηχανήματα των διοδίων, ψωνίζουμε με τις πιστωτικές μας κάρτες και μιλάμε από τα κινητά μας τηλέφωνα, κάνοντας ολοένα και πιο χοντρούς τους ψηφιακούς μας φακέλους - με αποκορύφωμα την καθιέρωση της Kάρτας Συναλλαγών...

Ο Κερτ Γκέντελ υπήρξε ένας γίγαντας της διανόησης. Το θεώρημα της Μη Πληρότητας που διατύπωσε προκάλεσε αναστάτωση όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά επίσης σε ολόκληρο τον κόσμο της επιστήμης και της φιλοσοφίας. Συντρίβοντας τις κάποιες ελπίδες ότι η λογική, τελικά, θα μας επέτρεπε να κατανοήσουμε πλήρως το σύμπαν, το θεώρημα του Γκέντελ ήγειρε επίσης μια σειρά από προκλητικές ερωτήσεις: Ποια είναι τα όρια της ορθολογιστικής σκέψης; θα μπορέσουμε ποτέ να κατανοήσουμε πλήρως τις μηχανές που κατασκευάζουμε; Ή τους εσωτερικούς μηχανισμούς του ίδιου του μυαλού μας; Πώς θα πρέπει να...

Όταν τον Οκτώβριο του 1998 γινόταν στη Νέα Υόρκη η δημοπρασία του περίφημου Παλίμψηστου Κώδικα του Αρχιμήδη, ενός βυζαντινού χειρογράφου του 10ου αιώνα το οποίο δυόμισι αιώνες αργότερα μετατράπηκε σε παλίμψηστο, λίγοι ήσαν εκείνοι που προσδοκούσαν πως μια δεύτερη προσπάθεια ανάγνωσής του, σχεδόν 100 χρόνια μετά από το πρώτο εγχείρημα του J. L. Heiberg, θα έφερνε στο φως ευρήματα τέτοια που θα συμπλήρωναν κατά τρόπο ουσιαστικό τα σωζόμενα κείμενα της μεγαλύτερης μαθηματικής ιδιοφυΐας του αρχαίου κόσμου. Σήμερα πλέον έχει αποδειχθεί ότι το εύρος των ερευνών του Αρχιμήδη στα μ...

Η εκπαιδευτική προσέγγιση με βάση τα επίπεδα σκέψης, που συχνά αποκαλούνται "επίπεδα Van Hiele", έγινε γνωστή σε όλο τον κόσμο και αποτέλεσε αφορμή για σημαντικές μεταρρυθμίσεις στα προγράμματα σπουδών της γεωμετρίας. Σκοπός αυτού του βιβλίου είναι να συνεισφέρει στη βελτίωση της διδακτικής πρακτικής. Αν τα επίπεδα του Van Hiele αξιοποιηθούν σωστά, είναι δυνατόν να ξεκινήσει η διδασκαλία για την εκμάθηση της γεωμετρίας -αλλά και πολλών άλλων αντικειμένων- πολύ νωρίτερα απ' ό,τι συνηθίζεται τώρα, μέσω νέων ιδεών, τις οποίες διαμόρφωσε ο Van Hiele αναλύοντας διάφορες θεωρί...