Κοινότητα Αναγνωστών Βιβλίων - readers.gr

Ο Wittgenstein είχε γράψει 1000 σελίδες περίπου, αφιερωμένες στη λογική και τα μαθηματικά, οι περισσότερες από τις οποίες περιλαμβάνονται στις "Φιλοσοφικές παρατηρήσεις" και τη "Φιλοσοφική γραμματική" (τα λεγόμενα "μεταβατικά κείμενα"). Μολονότι τα δύο αυτά κείμενα περιέχουν εκτενείς αναφορές σε θέματα ανωτέρων μαθηματικών, οι ωριμότερες απόψεις, που περιέχονται στο ανά χείρας βιβλίο, κινούνται κυρίως στο στοιχειώδες επίπεδο. Ο λόγος είναι ότι, στο βιβλίο αυτό, ο Wittgenstein εκθέτει, τρόπον τινά, τα πορίσματα των ερευνών που διεξήγαγε στα μεταβατικά κείμενα, και, έχοντας π...

Τα παράδοξα, εκτός του ότι προκαλούν τη λογική και μας εμβάλλουν σε διανοητική απορία, συγχρόνως μας μεταφέρουν σε ένα πεδίο με όρους και κανόνες που από τη μια μεριά μας καλούν να τους χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε τα παράδοξα και από την άλλη επιτρέπουν και κάνουν δυνατή την απόλαυση ενός διανοητικού παιχνιδιού, στο οποίο ο Άρις Αραγεώργης ενδίδει με τη σιγουριά του δεξιοτέχνη και μας καλεί να συμμετάσχουμε. Η δεξιοτεχνία του είναι τόσο στιβαρή που δεν ξεχωρίζει για να προβληθεί αλλά σβήνει μέσα στην απλότητα των χειρισμών ενός έμπειρου μάστορα. Ο συγγραφέας στέκετα...

Η φράση όπερ έδει δείξαι, ή η αντίστοιχη λατινική quod erat demonstrandum (συντομογραφία: Q.E.D.), συναντάται στο τέλος ορισμένων απλών, εντυπωσιακών και συνάμα οπτικά ελκυστικών αποδείξεων. Από μια άποψη, είναι συνώνυμη της αλήθειας και της ομορφιάς στα μαθηματικά. Από μια άλλη, αντιπροσωπεύει τη φαινομενικά απρόσιτη πλευρά αυτής της αρχαίας επιστήμης. Παρουσιάζοντας ορισμένες από τις πιο διάσημες αποδείξεις, ο μαθηματικός Μπέρκαρντ Πόλστερ μας δίνει να καταλάβουμε με τον πιο άμεσο τρόπο γιατί ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα, με ποια μέθοδο έβρισκε ο Αρχιμήδης το εμβαδό ενός...

Θεμελιακή έννοια της μαθηματικής μεθόδου, ήδη από την ελληνική αρχαιότητα, η έννοια της απόδειξης υπέστη έναν βαθύ μετασχηματισμό από τις αρχές της δεκαετίας του '70. Πολλές σημαντικές μαθηματικές ανακαλύψεις, όχι πάντα συνδεδεμένες μεταξύ τους, θέτουν σταδιακά σε αμφισβήτηση την κυριαρχία του συλλογισμού πάνω στον υπολογισμό και μας προτείνουν μια πιο ισορροπημένη αντιμετώπιση, κατά την οποία συλλογισμοί και υπολογισμοί διαδραματίζουν συμπληρωματικούς ρόλους. Αυτή η αληθινή επανάσταση μας οδηγεί στο να ξανασκεφτούμε το διάλογο των μαθηματικών και των φυσικών επιστημώ...

Ένα ανοιξιάτικο απόγευμα του 1983, ένας νεαρός μαθητής του λυκείου, ανακαλύπτει ότι υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των 27 γραμμάτων του ελληνικού αλφαβήτου και των αριθμών. Αυτό, θα τον οδηγήσει σε μία διαρκή αναζήτηση, η οποία θα έχει ως αποτέλεσμα να αποδείξει ότι η ελληνική γλώσσα δεν διαφέρει από τις άλλες γλώσσες μόνο επειδή έχει πρωτογένεια, μουσικότητα και μαθηματική δομή, αλλά επιπλέον εμπεριέχει κωδικοποιημένη πληροφορία, γνωρίζοντας τους νόμους της κοσμικής δημιουργίας και των επιστημών, όπως επίσης και τις αριθμητικές τιμές των μαθηματικών σταθερών. Τον Απρίλι...

Η πεποίθησις των Πυθαγορείων ότι τα πάντα εκφράζονται και ερμηνεύονται δια των αριθμών, αποδεικνύεται από την ρήσιν "το γαρ σοφότατον των όντων εστίν ο αριθμός". Εντός των δέκα κεφαλαίων του παρόντος βιβλίου, αποδεικνύεται η πλήρης σχέσις της ελληνικής γλώσσης με τα μαθηματικά, την φυσικήν, την αστρονομίαν, την ιατρικήν και όλες τις επιστήμες. Οι Πυθαγόρειοι και ο Πλάτων ήσαν πεπεισμένοι ότι ο κόσμος έχει κτισθεί από τα πέντε στοιχεία (πυρ, γαία, ύδωρ, αήρ και αιθήρ), δηλαδή τα κανονικά στερεά. Η αντιστοιχία εκάστου εξ' αυτών, εξηγείται δια πρώτην φοράν εις το τέταρτον κεφ...

Η ιστορία του Πολ Έρντος και της αναζήτησης για τη μαθηματική αλήθεια. Για να ανακαλύψει κανείς στον αιώνα μας κάποιον άλλο άνθρωπο που να έχει αφιερώσει τόσο απόλυτα τη ζωή του στην αφηρημένη σκέψη θα έπρεπε να ανατρέξει στο Λούντβιχ Βίτγκενσταϊν (1889-1951) που απογύμνωσε τη ζωή του για χάρη της φιλοσοφίας. Ενώ όμως ο Βίτγκενσταϊν σκόρπισε την οικογενειακή του περιουσία ως ένα είδος αυτοτιμωρίας, ο Έρντος σκόρπιζε τα περισσότερα από τα χρήματα που κέρδιζε απλώς επειδή δεν τα χρειαζόταν... Και ενώ ο Βίτγκενσταϊν πορευόταν με σχεδόν αυτοκτονικές παρορμήσεις, ο Έρντος οικοδ...

Το βιβλίο αυτό, παρ’ όλα τα χρόνια που πέρασαν από την εποχή της συγγραφής του και τη μάλλον ψυχρή υποδοχή του από την κοινότητα των φιλοσόφων/μαθηματικών και, επιπλέον, παρά τις επιθέσεις που εν τω μεταξύ υπέστη η λεγόμενη "ορθόδοξη" ερμηνεία τού ίδιου του Wittgenstein -στον καμβά της οποίας ο Shanker εξυφαίνει την επιχειρηματολογία του- διατηρεί αμείωτη την αξία του. Κυρίως επειδή είναι ένα τολμηρό σύγγραμμα: αφ’ ενός, δεν διστάζει να καταπιαστεί με ένα τεράστιο πλέγμα προβλημάτων της φιλοσοφίας των μαθηματικών τα οποία άπτονται μεν των βιτγκενσταϊνικών απόψεων για τη θεμ...

Ο Μπέρτραντ Ράσελ έγραψε κάποτε ότι τα μαθηματικά μπορούν να προσφέρουν απόλαυση και ψυχική ανάταση "όπως ακριβώς και η ποίηση". Αυτό ισχύει και με το παραπάνω για μια συγκεκριμένη εξίσωση: την eiπ + 1 = 0. Πνευματικό δημιούργημα του Λέοναρντ Όιλερ, του "Μότσαρτ των μαθηματικών", η εξίσωση αυτή θεωρείται ένα εννοιολογικό διαμάντι αξεπέραστης ομορφιάς ακόμη και σήμερα, δύο και πλέον αιώνες μετά τον θάνατο του Όιλερ. Λίγοι έχουν μείνει ασυγκίνητοι μπροστά της. Ο φυσικός Ρίτσαρντ Φάινμαν τη χαρακτήρισε "τον πιο αξιοσημείωτο τύπο των μαθηματικών", ο δε μαθηματικός Keith Devlin...

Εάν θέλαμε να χαρακτηρίσουμε μονολεκτικά αυτό το βιβλίο θα αρκούσε η λέξη "πάθος". Η ιστορία των μεταμαθηματικών μοιάζει με ένα "ανθρώπινο δράμα": ιδιοφυείς μαθηματικοί εφαρμόζουν -ανά εποχές- τις μεθόδους τους προκειμένου να "σκάψουν" βαθιά στις ρίζες των μαθηματικών και να αμφισβητήσουν τους περιορισμούς της ίδιας της επιστήμης τους. Τα μαθηματικά ταυτίζονται με τον φορμαλισμό, την τελειότητα, τον απόλυτο υπολογισμό, την πλήρη τυπικότητα, την πληρότητα, την αδιαμφισβήτητη βεβαιότητα. Ή μήπως όχι; Μήπως ταυτίζονται με την τυχαιότητα, το αίνιγμα και το παράδοξο; Ο "βα...

Ο μαθηματικός Gian-Carlo Rota και ο θεωρητικός φυσικός David Sharp συζητούν, στο πλαίσιο μιας κοινής τους συνέντευξης στο περιοδικό Los Alamos Science, για τα Μαθηματικά και τους μαθηματικούς, τη φιλοσοφία και τους φιλοσόφους, την τεχνητή νοημοσύνη και τους ειδικούς στους υπολογιστές. Κατά την αναζήτηση τόσο των ορίων των Μαθηματικών, και ιδίως της μαθηματικής λογικής (στη σημερινή της μορφή), όσο και των αντίστοιχων της φιλοσοφίας, αναδεικνύονται οι σχέσεις των δύο αυτών γνωστικών αντικειμένων με τη φυσική, τη βιολογία, τη νευροφυσιολογία, την ψυχολογία και τη μαθηματική θ...

Συνηθίζουμε να λέμε ότι κάποιος μαθητής είναι καλός στα πρακτικά μαθήματα, εννοώντας τα Μαθηματικά, τη Φυσική, τη Χημεία, τη Βιολογία και την Πληροφορική. Είναι, όμως, τα Μαθηματικά πρακτική επιστήμη ή μήπως θεωρητική, όπως υποστηρίζουν, για παράδειγμα, όσοι μαθηματικοί κάνουν έρευνα στα Θεωρητικά Μαθηματικά; Ο Γιώργος Λ. Ευαγγελόπουλος καταπιάνεται με αυτό ακριβώς το ερώτημα και η γεμάτη εκπλήξεις περιδιάβασή του στα μονοπάτια της σύγχρονης Μαθηματικής Φυσικής, της Πληροφορικής, των Βιοϊατρικών και Φαρμακευτικών Επιστημών, των Οικονομικών, των Νομικών αλλά και της Φιλοσο...

Τι ακριβώς κάνει ένας μαθηματικός και ποιος ο σκοπός της δουλειάς του; Κοιτάζοντας πέρα από τις συμβατικές απαντήσεις -που συχνά αναφέρονται στην αλήθεια, την ομορφιά και σε κάποιες από τις πρακτικές εφαρμογές της επιστήμης των Μαθηματικών-, το βιβλίο προσφέρει ένα πλούσιο πανόραμα των αξιών, των ελπίδων και των φόβων που έχουν οι μαθηματικοί στον 21ο αιώνα, συγκεντρώνοντας πλούσιο υλικό από διαφορετικές πηγές, συμπεριλαμβανομένων επιστημονικών δημοσιεύσεων και αναφορών στην ποπ κουλτούρα.Βάσει των εμπειριών του και των προσωπικών του εμμονών καθώς και των σκέψεων που δ...

Στην παρούσα μελέτη εξετάζονται πτυχές της σχέσης Θεωρητικής Φυσικής και των Μαθηματικών, όπως διαμορφώθηκε από τη δεκαετία του 1980 και μετά. Αφορμή αποτέλεσαν κάποιες σκέψεις του Κορνήλιου Καστοριάδη, τις οποίες ο Γιώργος Λ. Ευαγγελόπουλος αντιπαραθέτει και μελετά συγκριτικά με ανάλογες παρατηρήσεις του διαπρεπούς μαθηματικού Δημήτρη Χριστοδούλου, αλλά και του φυσικού και φιλοσόφου της επιστήμης Βασίλη Γ. Σακελλαρίου. Θίγονται μια σειρά σειρά από ζητήματα, όπως το κατά πόσο είναι «αναγκαία» η αυστηρή μαθηματική θεμελίωση μιας θεωρίες της Φυσικής. Ένα από τα συμπεράσματα ε...

Οι μαθηματικές ιδέες επινοούνται ή ανακαλύπτονται; Το ερώτημα αυτό έχει τεθεί κατ' επανάληψη από φιλοσόφους ανά τους αιώνες και πιθανότατα θα το αντιμετωπίζουμε ες αεί. [...] Αυτό που έχει σημασία είναι ότι, θέτοντας το ερώτημα, αναγνωρίζουμε το γεγονός ότι τα μαθηματικά έχουν ζήσει διπλή ζωή. [...] [...] Την επιτυχία των μαθηματικών στο να διάγουν διπλή ζωή φθονούσε από πολύ καιρό η φιλοσοφία, ένας άλλος κλάδος, επίσης ευλογημένος -ή, ίσως θα μπορούσαμε να πούμε, καταραμένος- να ζει σε δύο κόσμους, κλάδος ο οποίος όμως δεν αισθανόταν την ίδια ακριβώς άνεση με τη διπλή ζωή...

Τί είναι τα μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση τους με τις φυσικές επιστήμες; Ποια η φύση και το περιεχόμενο των σχολικών μαθηματικών; Ποια η σχέση μαθηματικών και σχολικών μαθηματικών; Ποιος ο τρόπος που συγκροτούνται νοητικά τα μαθηματικά αντικείμενα; Ποιες οι ρίζες του κονστρουκτιβισμού και ποιες οι δυσκολίες εφαρμογής του στην τάξη; Υπάρχει "ισότητα στη μαθηματική εκπαίδευση" ή καλυμμένη επιλεκτικότητα; Πόσο ρεαλιστικό είναι το "Μαθηματικά για όλους" και για τι είδους "μαθηματικά" πρόκειται; Απαντήσεις σε αυτά και άλλα σχετικά ερωτήματα μπορεί να βρει ο αναγνώστης στο παρό...

Στον παρόντα τόμο με τίτλο "Λαβύρινθοι, γνωσιολογικά ρήγματα, φιλοσοφικά σπαράγματα και παραμυθίες" περιέχονται 29 επιλεγμένα κείμενα φιλοσοφίας γραμμένα από τον Δ. Α. Αναπολιτάνο μεταξύ 1980 και 2016. Τα κείμενα αυτά ανήκουν στις περιοχές της ιστορίας της φιλοσοφίας, της φιλοσοφίας των μαθηματικών, της φιλοσοφίας της επιστήμης, της φιλοσοφίας της ιστορίας, καθώς και σε περιοχές της φιλοσοφίας, που σχετίζονται ή γειτνιάζουν με τα προβλήματα της ελεύθερης βούλησης, της ευθύνης και του ρόλου της ιδεολογίας στα ανθρώπινα δρώμενα. Αντιμετωπίζονται συγκεκριμένες, γνωσιολογικά...

Είναι περίεργος ο τρόπος που το ανθρώπινο πνεύμα αναζητά την αλήθεια. Ενώ δηλαδή εκείνη αφ' εαυτής ηρεμεί, η σκέψη μας προχωρεί δυσκίνητη με μαιανδρικές περιπλανήσεις για την κατάκτησή της. Και τις περισσότερες φορές, αφού ισχυρισθούμε ότι την βρήκαμε, έπεται συνέχεια ένας σκεπτικισμός γύρω από το "αληθινό μας αποτέλεσμα", ο οποίος σύντομα διαταράσσει την ευστάθεια και ενάργεια που περιβάλλαμε αρχικά το αποτέλεσμα. [...] (Από τον πρόλογο του βιβλίου)